$ \newcommand\tg{\operatorname{tg}} \newcommand\cotg{\operatorname{cotg}} \newcommand{\uhel}{{<}\kern-0.5em)\,} \newcommand\abs[1]{\left| #1 \right|} \newcommand\zav[1]{\left( #1 \right)} \newcommand\zavhra[1]{\left[ #1 \right]} \newcommand\zavslo[1]{\left\{ #1 \right\}} \newcommand\zavlom[1]{\left< #1 \, \right>} \newcommand{\podtrzeni}[1]{\underline{ #1 }} \newcommand{\vysledek}[1]{\underline{\underline{#1}}} \newcommand{\priume}[4]{ \Bigg\uparrow \underline{ \begin{array}{rp{2.3cm}r} #1 & \dots\dots\dots\dots\dots & #2 \\ #3 & \dots\dots\dots\dots\dots & #4 \end{array}} \Bigg\uparrow} \newcommand{\nepriume}[4]{ \Bigg\downarrow \underline{ \begin{array}{rp{2.3cm}r} #1 & \dots\dots\dots\dots\dots & #2 \\ #3 & \dots\dots\dots\dots\dots & #4 \end{array}} \Bigg\uparrow} \newcommand{\nepriumevpravo}[4]{ \Bigg\uparrow \underline{ \begin{array}{rp{2.3cm}r} #1 & \dots\dots\dots\dots\dots & #2 \\ #3 & \dots\dots\dots\dots\dots & #4 \end{array}} \Bigg\downarrow} $ $\textbf{Hudcová a Kubičíková 5.38 c) / s. 99}$
Štítky: kuželosečky, vyšetřování kuželoseček, parabola

Načrtněte graf funkce dané rovnicí $y=x^2+10x+28$.

$\textbf{Řešení}$

Obecnou rovnici paraboly $$y=ax^2+bx+c$$ převedeme na středový tvar $$y=a(x-m)^2+n$$ koeficient $a$ určuje, jaký má parabola tvar a kam je její graf otevřen
$V=\zavhra{m;\,n}$ ... souřadnice vrcholu paraboly $p$ \begin{align*} y&=x^2+10x+28=\\ &=x^2+10x+25+3=\\ &=(x+5)^2+3 \end{align*} $$y=(x+5)^2+3$$ Vyšetřit kuželosečku znamená rozhodnout, o jakou se jedná, a určit všechny její charakteristické vlastnosti.

V našem případě se jedná o parabolu, neboť jedna proměnná ($x$) je ve druhé mocnině a druhá proměnná ($y$) je v první mocnině.

Osa paraboly je rovnoběžná s tou osou, jejíž proměnná je v první mocnině. $$\vysledek{o \parallel o_y}$$
$\textbf{Souřadnice vrcholu paraboly}$

Nalezením nulového bodu výrazu $x+5$ získáme $x$-souřadnici vrcholu paraboly $V\zavhra{x;\,y}$ \begin{align*} x+5&=0 \qquad /\, -5\\ x&=-5 \end{align*} $y$ souřadnici vrcholu paraboly vypočítáme dosazením za $x=-5$ \begin{align*} y &=(x+5)^2+3\\ y &=(-5+5)^2+3\\ y &=0^2+3\\ y &=3 \end{align*} $$\vysledek{\text{Souřadnice vrcholu paraboly}~\dots~V\zavhra{-5;\,3}}$$
Koeficient $a$ v zadané rovnici paraboly $y=(x+5)^2+3$ je roven $a=1$

$a > 0$ ... parabola je otevřená "nahoru"

$\textbf{Průsečíky paraboly $p$ s osami}$

Průsečík s $o_x$ ... $p \cap o_x$ ... $y=0$ \begin{align*} 0 &= (x+5)^2+3 \qquad / \,-(x+5)^2\\ -(x+5)^2 &= 3 \qquad \, / \cdot (-1) \\ (x+5)^2 &= -3 \qquad \text{nemá řešení v $\mathbb{R}$ (druhá mocnina nemůže být záporná)}\\ x &\in \emptyset \end{align*} $$\vysledek{\text{Průsečík}~p \cap o_x = \emptyset~\dots~\text{průsečík neexistuje}}$$
Průsečík s $o_y$ ... $p \cap o_y$ ... $x=0$ \begin{align*} y&=(x+5)^2+3\\ y&=(0+5)^2+3\\ y&=(5)^2+3\\ y&=26+3\\ y&=28 \end{align*} $$\vysledek{\text{Průsečík}~p \cap o_y = \zavhra{0;\,28}}$$
$\textbf{Graf paraboly $p$}$



$\textbf{Konec příkladu}$