$ \newcommand\tg{\operatorname{tg}} \newcommand\cotg{\operatorname{cotg}} \newcommand{\uhel}{{<}\kern-0.5em)\,} \newcommand\abs[1]{\left| #1 \right|} \newcommand\zav[1]{\left( #1 \right)} \newcommand\zavhra[1]{\left[ #1 \right]} \newcommand\zavslo[1]{\left\{ #1 \right\}} \newcommand\zavlom[1]{\left< #1 \, \right>} \newcommand{\podtrzeni}[1]{\underline{ #1 }} \newcommand{\vysledek}[1]{\underline{\underline{#1}}} \newcommand{\priume}[4]{ \Bigg\uparrow \underline{ \begin{array}{rp{2.3cm}r} #1 & \dots\dots\dots\dots\dots & #2 \\ #3 & \dots\dots\dots\dots\dots & #4 \end{array}} \Bigg\uparrow} \newcommand{\nepriume}[4]{ \Bigg\downarrow \underline{ \begin{array}{rp{2.3cm}r} #1 & \dots\dots\dots\dots\dots & #2 \\ #3 & \dots\dots\dots\dots\dots & #4 \end{array}} \Bigg\uparrow} \newcommand{\nepriumevpravo}[4]{ \Bigg\uparrow \underline{ \begin{array}{rp{2.3cm}r} #1 & \dots\dots\dots\dots\dots & #2 \\ #3 & \dots\dots\dots\dots\dots & #4 \end{array}} \Bigg\downarrow} $ $\textbf{Petáková 6.19 108 b) / s. 51}$
Štítky: funkce, goniometrické funkce, trigoniometrie, mnohoúhelníky, výpočty

Strana pravidelného devítiúhelníku je $a=5\,\text{cm}$. Vypočítejte poloměr kružnice, kterou lze danému devítiúhelníku vepsat.

$ \textbf{Řešení} $

Poloměrem $\rho$ kružnice vepsané pravidelnému devítiúhelníku ABCDEFGHI je délka výšky rovnoramenného trojúhelníku $ABS$, viz následující obrázek.

Velikost úhlu $ASB$ v pravidelném devítiúhelníku je rovna devítině plného úhlu ($360^\circ$) a vypočteme ji $$ \abs{\uhel ASB}=360^\circ : 9 = 40^\circ $$ Velikost poloměru $\rho$ vypočteme pomocí pravoúhlého trojúhelníku $APS$ v trojúhelníku $ABS$, viz následující obrázek.

Délka strany $AB$ je dána $$ a = \abs{AB} = 5 \, \text{cm} $$ Bod $P$ je patou kolmice na stranu $AB$ spuštěné z bodu $S$ rovnoramenného trojúhelníku $ABS$ a leží tedy ve středu úsečky $AB$ $$ \abs{AP} = \dfrac{1}{2} \abs{AB} = \dfrac{5}{2} \, \text{cm} $$ Velikost úhlu $ASP$ je rovna polovině úhlu $ASB$ $$ \abs{\uhel ASP} = \dfrac{1}{2} \abs{\uhel ASB} = \dfrac{1}{2} \cdot 40^\circ=20^\circ $$ Zbývající úhel při vrcholu $A$ je doplňkem úhlů $ASP$ $(20^\circ)$ a pravého úhlu $APS$ do přímého úhlu $(180^\circ)$ $$ \abs{\uhel SAP} = 180^\circ - 90^\circ - 20^\circ = 70^\circ $$ K výpočtu poloměru $\rho$ kružnice vepsané využijeme pravoúhlého trojúhelníku $SAP$ a funkce tangens, která je definována jako poměr protilehlé a přilehlé odvěsny

$ \textbf{První způsob} $ \begin{align*} \tg{70^\circ} &= \dfrac{\rho}{\abs{AP}} \qquad / \, \cdot \abs{AP} \\ \rho &=\tg{70^\circ}\cdot\abs{AP} \end{align*} Po dosazení vypočítáme velikost poloměru kružnice vepsané $\rho$ \begin{align*} \rho &= 2{,}747\,477 \cdot \dfrac{5}{2} = \\ &= 6{,}868\,693 \doteq \\ &\doteq \vysledek{6{,}87 \, \text{cm}} \end{align*} $$ $$
$ \textbf{Druhý způsob} $ \begin{align*} \tg{20^\circ} &= \dfrac{\abs{AP}}{\rho} \qquad / \, \cdot \dfrac{\rho}{\tg{20^\circ}} \\ \rho &= \dfrac{\abs{AP}}{\tg{20^\circ}} \end{align*} Po dosazení vypočítáme velikost poloměru kružnice vepsané $\rho$ \begin{align*} \rho &= \dfrac{\abs{AP}}{\tg{20^\circ}} = \\ &= \dfrac{\dfrac{5}{2}}{0{,}363\,970} = \\ &= 6{,}868\,693 \doteq \\ &\doteq \vysledek{6{,}87 \, \text{cm}} \end{align*}
$ \textbf{Výsledek} $ $$ \vysledek{\rho \doteq 6{,}87 \, \text{cm}} $$
$ \textbf{Odpověď} $

Poloměr kružnice vepsané $\rho \doteq 6{,}87 \, \text{cm}$.

$ \textbf{Konec příkladu} $