$ \newcommand\tg{\operatorname{tg}} \newcommand\cotg{\operatorname{cotg}} \newcommand{\uhel}{{<}\kern-0.5em)\,} \newcommand\abs[1]{\left| #1 \right|} \newcommand\zav[1]{\left( #1 \right)} \newcommand\zavhra[1]{\left[ #1 \right]} \newcommand\zavslo[1]{\left\{ #1 \right\}} \newcommand\zavlom[1]{\left< #1 \, \right>} \newcommand{\podtrzeni}[1]{\underline{ #1 }} \newcommand{\vysledek}[1]{\underline{\underline{#1}}} \newcommand{\priume}[4]{ \Bigg\uparrow \underline{ \begin{array}{rp{2.3cm}r} #1 & \dots\dots\dots\dots\dots & #2 \\ #3 & \dots\dots\dots\dots\dots & #4 \end{array}} \Bigg\uparrow} \newcommand{\nepriume}[4]{ \Bigg\downarrow \underline{ \begin{array}{rp{2.3cm}r} #1 & \dots\dots\dots\dots\dots & #2 \\ #3 & \dots\dots\dots\dots\dots & #4 \end{array}} \Bigg\uparrow} \newcommand{\nepriumevpravo}[4]{ \Bigg\uparrow \underline{ \begin{array}{rp{2.3cm}r} #1 & \dots\dots\dots\dots\dots & #2 \\ #3 & \dots\dots\dots\dots\dots & #4 \end{array}} \Bigg\downarrow} $ $\textbf{Petáková 2.14 24 b) / s. 15}$
Štítky: rovnice, kvadratické rovnice, substituce, diskriminant, Vietovy vzorce

Řešte rovnici $ x^6 - 7x^3 - 8 = 0 $ s neznámou $x\in \mathbb {R}$.

$ \textbf{Řešení} $

Při řešení rovnice $$ x^6 - 7x^3 - 8 = 0 $$ můžeme užít substituce $$ t=x^3 $$ Tím snížíme stupeň rovnice ze stupně $ 6 $ na stupeň $ 2 $ a získáme standardní kvadratickou rovnici $$ t^2-7t-8=0 $$ Jejími koeficienty podle obecného zápisu kvadratické rovnice $$ ax^2+bx+c=0 $$ jsou $$ a=1, \, b=-7, \, c=-8. $$
$\textbf{1. způsob řešení - pomocí diskriminantu}$

Diskriminant $ D $ zasubstituované rovnice je tedy $$ D=b^2-4ac=(-7)^2-4\cdot1\cdot(-8)=49+32=81 $$ Odmocnina z diskriminantu $ D $ je tedy $$ \sqrt{D}=\sqrt{81}=9 $$ Řešením jsou tedy dva různé reálné kořeny $ t_1, \, t_2 $: $$ t_{1,2}=\dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}=\dfrac{7 \pm 9}{2}= \begin{cases} t_1 = -1 \\ t_2 = 8 \end{cases} $$
$\textbf{2. způsob řešení - pomocí Vietových vzorců}$

Víme, že musí současně platit: $$ t_1\cdot t_2=c \, \wedge \, t_1+t_2=-b $$ V našem případě tedy: $$ t_1\cdot t_2=-8 \, \wedge \, t_1+t_2=7 $$ Hádáním (tzn. zkoušením různých variant) dojdeme ke stejnému závěru, tedy že $$ t_1=-1, \, t_2=8. $$
$\textbf{Návrat k substituci}$

Návratem k substituci $ t=x^3 $, do níž postupně dosadíme $t_1$ a $t_2$, dopočítáme $x_{1}\text{ a }x_{2}$ následovně:
\begin{align*} t_1 &= x_1^3 \qquad / ~ \text{za $t_1$ dosadíme $-1$} \\ -1 &= x_1^3 \qquad / ~ \text{obě strany odmocníme třemi} \\ \sqrt[3]{x_1^3} &= \sqrt[3]{-1} \\ x_1 &= -1 \end{align*} $$ \vysledek{x_1=-1} $$ \begin{align*} t_2 &= x_2^3 \qquad / ~ \text{za $t_2$ dosadíme $8$} \\ 8 &= x_2^3 \qquad / ~ \text{obě strany odmocníme třemi} \\ \sqrt[3]{x_2^3} &= \sqrt[3]{8} \\ x_2 &= 2 \end{align*} $$ \vysledek{x_2=2} $$
$ \textbf{Výsledek} $ $$ \vysledek{K=\zavslo{-1; \, 2}} $$
$ \textbf{Konec příkladu} $