$ \newcommand\tg{\operatorname{tg}} \newcommand\cotg{\operatorname{cotg}} \newcommand{\uhel}{{<}\kern-0.5em)\,} \newcommand\abs[1]{\left| #1 \right|} \newcommand\zav[1]{\left( #1 \right)} \newcommand\zavhra[1]{\left[ #1 \right]} \newcommand\zavslo[1]{\left\{ #1 \right\}} \newcommand\zavlom[1]{\left< #1 \, \right>} \newcommand{\podtrzeni}[1]{\underline{ #1 }} \newcommand{\vysledek}[1]{\underline{\underline{#1}}} \newcommand{\priume}[4]{ \Bigg\uparrow \underline{ \begin{array}{rp{2.3cm}r} #1 & \dots\dots\dots\dots\dots & #2 \\ #3 & \dots\dots\dots\dots\dots & #4 \end{array}} \Bigg\uparrow} \newcommand{\nepriume}[4]{ \Bigg\downarrow \underline{ \begin{array}{rp{2.3cm}r} #1 & \dots\dots\dots\dots\dots & #2 \\ #3 & \dots\dots\dots\dots\dots & #4 \end{array}} \Bigg\uparrow} \newcommand{\nepriumevpravo}[4]{ \Bigg\uparrow \underline{ \begin{array}{rp{2.3cm}r} #1 & \dots\dots\dots\dots\dots & #2 \\ #3 & \dots\dots\dots\dots\dots & #4 \end{array}} \Bigg\downarrow} $ $\textbf{Petáková 2.14 24 a) / s. 15}$
Štítky: rovnice, kvadratické rovnice, substituce, diskriminant, Vietovy vzorce

Řešte rovnici $ x^4 - 5x^2 + 4 = 0 $ s neznámou $x\in \mathbb {R}$.

$ \textbf{Řešení} $

Při řešení rovnice $$ x^4 - 5x^2 + 4 = 0 $$ můžeme užít substituce $$ t=x^2 $$ Tím snížíme stupeň rovnice ze stupně $ 4 $ na stupeň $ 2 $ a získáme standardní kvadratickou rovnici $$ t^2 - 5t + 4 = 0 $$ Jejími koeficienty podle obecného zápisu kvadratické rovnice $$ ax^2+bx+c=0 $$ jsou $$ a=1, \, b=-5, \, c=4. $$
$\textbf{1. způsob řešení - pomocí diskriminantu}$

Diskriminant $ D $ zasubstituované rovnice je tedy $$ D=b^2-4ac=(-5)^2 - 4\cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9 $$ Odmocnina z diskriminantu $ D $ je tedy $$ \sqrt{D}=\sqrt{9}=3 $$ Řešením jsou tedy dva různé reálné kořeny $ t_1, \, t_2 $: $$ t_{1,2}=\dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}=\dfrac{5 \pm 3}{2}= \begin{cases} t_1=4 \\ t_2=1 \end{cases} $$
$\textbf{2. způsob řešení - pomocí Vietových vzorců}$

Víme, že musí současně platit: $$ t_1\cdot t_2=c \, \wedge \, t_1+t_2=-b $$ V našem případě tedy: $$ t_1\cdot t_2=4 \, \wedge \, t_1+t_2=5 $$ Hádáním (tzn. zkoušením různých variant) dojdeme ke stejnému závěru, tedy že $$ t_1=4, \, t_2=1. $$
$\textbf{Návrat k substituci}$

Návratem k substituci $ t=x^2 $, do níž postupně dosadíme $t_1$ a $t_2$, dopočítáme $x_1$ a $x_2$ následovně:
\begin{align*} t_1 &= x_1^2 \qquad / ~ \text{za $t_1$ dosadíme $4$} \\ 4 &= x_1^2 \qquad / ~ \text{obě strany odmocníme} \\ \sqrt{x_1^2} &= \sqrt{4} \\ \abs{x_1} &= 2 \\ x_1 &= \pm 2 \end{align*} $$ \vysledek{x_1 = \pm 2} $$ \begin{align*} t_2 &= x_2^2 \qquad / ~ \text{za $t_2$ dosadíme $1$} \\ 1 &= x_2^2 \qquad / ~ \text{obě strany odmocníme} \\ \sqrt{x_2^2} &= \sqrt{1} \\ \abs{x_2} &= 1 \\ x_2 &= \pm 1 \end{align*} $$ \vysledek{x_2 = \pm 1} $$
$ \textbf{Výsledek} $ $$ \vysledek{K=\zavslo{-2; \, -1; \, 1; \, 2}} $$
$ \textbf{Konec příkladu} $