$
\newcommand\tg{\operatorname{tg}}
\newcommand\cotg{\operatorname{cotg}}
\newcommand{\uhel}{{<}\kern-0.5em)\,}
\newcommand\abs[1]{\left| #1 \right|}
\newcommand\zav[1]{\left( #1 \right)}
\newcommand\zavhra[1]{\left[ #1 \right]}
\newcommand\zavslo[1]{\left\{ #1 \right\}}
\newcommand\zavlom[1]{\left< #1 \, \right>}
\newcommand{\podtrzeni}[1]{\underline{ #1 }}
\newcommand{\vysledek}[1]{\underline{\underline{#1}}}
\newcommand{\priume}[4]{
\Bigg\uparrow
\underline{
\begin{array}{rp{2.3cm}r}
#1 & \dots\dots\dots\dots\dots & #2 \\
#3 & \dots\dots\dots\dots\dots & #4
\end{array}}
\Bigg\uparrow}
\newcommand{\nepriume}[4]{
\Bigg\downarrow
\underline{
\begin{array}{rp{2.3cm}r}
#1 & \dots\dots\dots\dots\dots & #2 \\
#3 & \dots\dots\dots\dots\dots & #4
\end{array}}
\Bigg\uparrow}
\newcommand{\nepriumevpravo}[4]{
\Bigg\uparrow
\underline{
\begin{array}{rp{2.3cm}r}
#1 & \dots\dots\dots\dots\dots & #2 \\
#3 & \dots\dots\dots\dots\dots & #4
\end{array}}
\Bigg\downarrow}
$
$\textbf{Katčin příklad 1}$
Štítky: komplexní čísla, rovnice, rovnice s komplexními čísly
Řešte rovnici
$$ \dfrac{2i}{1+i}x - \dfrac{3-i}{2-3i} = i $$
pro $ x \in \mathbb{C} $.
$\textbf{Řešení}$
\begin{align*}
\dfrac{2i}{1+i}x - \dfrac{3-i}{2-3i} &= i \qquad /\cdot (1+i)(2-3i) \\
2ix(2-3i)-(3-i)(1+i) &= i(1+i)(2-3i) \\
x(4i-6i^2)-(3-i+3i-i^2) &= i(2+2i-3i-3i^2) \\
x(4i+6)-(3+2i+1) &= i(2+2i-3i-3i^2) \\
x(6+4i)-4-2i &= 5i-i^2 \qquad /+4+2i \\
x(6+4i) &= 4+2i+5i+1 \qquad /:(6+4i) \\
x &= \dfrac{5+7i}{6+4i} \cdot \dfrac{6-4i}{6-4i}= \\
&= \dfrac{30+42i-20i-28i^2}{36-16i^2}= \\
&= \dfrac{30+22i+28}{36+16}= \\
&= \dfrac{58+22i}{58} = \qquad \text{/ zkrátíme dvojkou} \\
&= \dfrac{29+11i}{26} = \qquad \text{/ rozdělíme na reálnou a imaginární část} \\
&=\dfrac{29}{26}+\dfrac{11}{26}i
\end{align*}
$\textbf{Výsledek}$
$$ \vysledek{x=\dfrac{29+11i}{26}=\dfrac{29}{26}+\dfrac{11}{26}i} $$
$\textbf{Zkouška}$
\begin{align*}
L &= \dfrac{2i}{1+i} \cdot \dfrac{1-i}{1-i} \cdot x - \dfrac{3-i}{2-3i} = \qquad /\, \text{nejprve upravíme bez dosazení za } x \\
&= \dfrac{2i-2i^2}{1-i^2} \cdot x - \dfrac{3-i}{2-3i} \cdot \dfrac{2+3i}{2+3i} = \\
&= \dfrac{2i+2}{2} \cdot x - \dfrac{6-2i+9i-3i^2}{4-(3i)^2} = \\
&= \dfrac{2(i+1)}{2} - \dfrac{6+7i+3}{4-9i^2} = \\
&= (i+1) \cdot x - \dfrac{9+7i}{4+9} = \qquad /\, \text{nyní dosadíme za } x \\
&= (1+i) \cdot \dfrac{29+11i}{26} - \dfrac{9+7i}{13} \\
&= \dfrac{29i+29+11i^2+11i}{26} - \dfrac{18+14i}{26} = \\
&= \dfrac{40i + 29 - 11 - 18 - 14i}{26} = \\
&= \dfrac{26i}{26} = i \\
\\
P &= i
\end{align*}
$$ \vysledek{L = P} $$
$ \textbf{Konec příkladu} $